(5) Truel

♦ ♦ ♦ ♦

Op een vroege morgen komen drie rivalen op een open plek in het bos bijeen om een geschil te beslechten middels het pistool. Een soort duel dus, maar dan van drie personen A, B en C. De spelregels zijn als volgt:

  • Er wordt geloot wie het eerste, tweede en derde schot mag lossen.
  • Vervolgens zal voortdurend in dezelfde volgorde gevuurd worden tot er nog maar één persoon in leven is.
  • Ieder mag zelf beslissen op wie geschoten wordt.
  • Ieder weet dat A in 100%, B in 80% en C in 50% van alle gevallen dodelijk raak schiet.
  • Ieder kiest de beste strategie.
  • Niemand wordt gedood door een verdwaald schot.

    Wie heeft de grootste kans om het duel te overleven, en hoe groot is die kans precies?

    Antwoord (CTRL+A):Het antwoord is C.

    Het volgende is gegeven:

    * P(A raakt) = 1
    * P(A mist) = 0
    * P(B raakt) = 4/5
    * P(B mist) = 1/5
    * P(C raakt) = 1/2
    * P(C mist) = 1/2

    We zullen de notatie P(S,XYZ) gebruiken voor de kans dat S overleeft wanneer de huidige volgorde van schieten XYZ is.

    Bereken allereerst de overlevingskansen wanneer er slechts twee personen over zijn.

    Volgorde van schieten:Overlevingskans A:Overlevingskans B:Overlevingskans C:Uitleg:
    ABP(A,AB) = 1P(B,AB) = 0P(C,AB) = 0A mist nooit.
    ACP(A,AC) = 1P(B,AC) = 0P(C,AC) = 0A mist nooit.
    BAP(A,BA) = 1/5P(B,BA) = 4/5P(C,BA) = 0P(A,BA) = P(B mist) × P(A,AB) = 1/5.P(B,BA) = P(B raakt) + P(B mist) × P(B,AB) = 4/5.
    BCP(A,BC) = 0P(B,BC) = 8/9P(C,BC) = 1/9P(B,BC) = P(B raakt) + P(B misses) × P(C mist) × P(B,BC) =4/5 + 1/5 × 1/2 × P(B,BC), dus P(B,BC) = 8/9.P(C,BC) = P(B mist) × P(C raakt) + P(B mist) × P(C mist) × P(C,BC) =1/5 × 1/2 + 1/5 × 1/2 × P(C,BC), dus P(C,BC) = 1/9.
    CAP(A,CA) = 1/2P(B,CA) = 0P(C,CA) = 1/2P(A,CA) = P(C mist) = 1/2.P(C,CA) = P(C raakt) = 1/2.
    CBP(A,CB) = 0P(B,CB) = 4/9P(C,CB) = 5/9P(B,CB) = P(C mist) × P(B raakt) + P(C mist) × P(B mist) × P(B,CB) =1/2 × 4/5 + 1/2 × 1/5 × P(B,CB), dus P(B,CB) = 4/9.P(C,CB) = P(C raakt) + P(C mist) × P(B mist) × P(C,CB) =1/2 + 1/2 × 1/5 × P(C,CB), dus P(C,CB) = 5/9.


    Bereken vervolgens de overlevingskans voor drie personen. Dit wordt gedaan door te kijken naar de overlevingskans van de eerste schutter in het geval van de vier mogelijke strategieën waaruit hij de keuze heeft. De beste strategiekeuzes zijn vetgedrukt.
    Volgorde van schieten:Overlevingskans bij schieten op A:Overlevingskans bij schieten op B:Overlevingskans bij schieten op C:Overlevingskans bij opzettelijk missen:Conclusie:
    ABC0P(A raakt) × P(A,CA) + P(A mist) × P(A,BCA) = 1/2P(A raakt) × P(A,BA) + P(A mist) × P(A,BCA) = 1/5P(A,BCA) < 1/2Dus A schiet op B, wat betekent datP(A,ABC) = 1/2,P(B,ABC) = 0, enP(C,ABC) = P(C,CA) = 1/2
    ACB0P(A raakt) × P(A,CA) + P(A mist) × P(A,BCA) = 1/2P(A raakt) × P(A,BA) + P(A mist) × P(A,BCA) = 1/5P(A,CBA) < 1/2Dus A schiet op B, wat betekent datP(A,ACB) = 1/2,P(B,ACB) = 0, enP(C,ACB) = P(C,CA) = 1/2
    BACP(B raakt) × P(B,CB) + P(B mist) × P(B,ACB) = 16/450P(B raakt) × P(B,AB) + P(B mist) × P(B,ACB) = 0P(B,ACB) = 0Dus B schiet A, wat betekent datP(B,BAC) = 16/45,P(A,BAC) = P(B mist) × P(A,ACB) = 1/10, enP(C,BAC) = P(B raakt) × P(C,CB) + P(B mist) × P(C,ACB) = 49/90
    CABP(C raakt) × P(C,BC) + P(C mist) × P(C,ABC) = 11/36P(C raakt) × P(C,AC) + P(C mist) × P(C,ABC) = 1/40P(C,ABC) = 1/2Dus C moet opzettelijk missen ("in de lucht" schieten), wat betekent datP(C,CAB) = 1/2,P(A,CAB) = P(A,ABC) = 1/2, enP(B,CAB) = P(B,ABC) = 0
    BCAP(B raakt) × P(B,CB) + P(B mist) × P(B,CAB) = 16/450P(B raakt) × P(B,AB) + P(B mist) × P(B,CAB) = 0P(B,CAB) = 0Dus B schiet op A, wat betekent datP(B,BCA) = 16/45,P(A,BCA) = P(B mist) × P(A,CAB) = 1/10, enP(C,BCA) = P(B raakt) × P(C,CB) + P(B mist) × P(C,CAB) = 49/90
    CBAP(C raakt) × P(C,BC) + P(C mist) × P(C,BAC) = 59/180P(C raakt) × P(C,AC) + P(C mist) × P(C,BAC) = 49/1800P(C,BAC) = 49/90Dus C moet opzettelijk missen ("in de lucht" schieten), wat betekent datP(C,CBA) = 49/90,P(A,CBA) = P(A,BAC) = 1/10, enP(B,CBA) = P(B,BAC) = 16/45


    Dit geeft de volgende overlevingskansen voor A,B, en C:

    Volgorde van schieten:Overlevingskans van A:Overlevingskans van B:Overlevingskans van C:
    ABCP(A,ABC) = 1/2P(B,ABC) = 0P(C,ABC) = 1/2
    ACBP(A,ACB) = 1/2P(B,ACB) = 0P(C,ACB) = 1/2
    BACP(A,BAC) = 1/10P(B,BAC) = 16/45P(C,BAC) = 49/90
    CABP(A,CAB) = 1/2P(B,CAB) = 0P(C,CAB) = 1/2
    BCAP(A,BCA) = 1/10P(B,BCA) = 16/45P(C,BCA) = 49/90
    CBAP(A,CBA) = 1/10P(B,CBA) = 16/45P(C,CBA) = 49/90
    Totale overlevingskansen (som van de kansen gedeeld door 6):27/9016/9047/90


    Conclusie: C heeft de beste kans (47/90) om het duel te overleven.

    Bron: http://www.puzzlesite.nl

    • <-- terug